Question

【题目】若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣ ）=f（﹣x）；③f（x）在（ ， ）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（ ）
A.f（x）=cos（x+ ）
B.f（x）=sin2x﹣cos2x
C.f（x）=sinxcosx
D.f（x）=sin2x+cos2x

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；
②对任意的x∈R，都有f（x﹣ ）+f（﹣x）=0，
用x+ 替换式中的x可得f（x﹣ ）+f（﹣x﹣ ）=0，
即函数的图象关于点（﹣ ，0）对称；
③f（x）在（ ， ）上是减函数；
对于A，f（x）=cos（x+ ）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；
对于B，f（x）=sin2x﹣cos2x= sin（2x﹣ ），不符合②，故不满足题意；
对于C，f（x）=sinxcosx= sin2x，不符合②，故不满足题意；
对于D，f（x）=sin2x+cos2x= sin（2x+ ），符合①②③，满足题意．
故选：D．