Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，x≤\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{a}x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的最大值是2，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （0，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 由题意可化为当x$＞\frac{1}{2}$时，log_ax≤2恒成立；从而讨论底数以确定函数单调性，从而解得．

解答 解：∵f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{4}$=2，
且函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，x≤\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{a}x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的最大值是2，
∴当x$＞\frac{1}{2}$时，log_ax≤2恒成立；
当a＞1时，log_ax≤2不可能恒成立；
当0＜a＜1时，log_ax≤2恒成立可化为
$\frac{1}{2}$≥a²，
即0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故选A．

点评 本题考查了分段函数的应用及对数函数的性质的判断与应用．