Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），B点在直线y=-1上，M点满

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，M点的轨迹曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为1的直线l过原点O，求l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（x，y），由已知可得：B（x，-1），A（0，1），

MA

=（-x，1-y），

MB

=（0，-1-y），

AB

=（x，-2），利用

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，即可得出．
（2）设直线与曲线C相交于点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），直线l的方程为y=x．与曲线C的方程联立即可得出．

解答： 解：（1）设M（x，y），由已知可得：B（x，-1），A（0，1），

MA

=（-x，1-y），

MB

=（0，-1-y），

AB

=（x，-2），
∵

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，∴（

MA

+

MB

）•

AB

=0，
∴（-x，-2y）•（x，-2）=0，化为-x²+4y=0，
∴y=

1

4

x2．
（2）设直线与曲线C相交于点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
直线l的方程为y=x代入y=

1

4

x2，解得

x=0 y=0

或

x=4 y=4

．
∴|EF|=4

2

．

点评：本题考查了直线与圆相交弦长问题、向量的坐标运算与数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．