Question

已知二次函数f（x）=x²+（a+2）x+b满足f（-1）=-2．
（1）若方程f（x）=2x有唯一解，求实数a，b的值；
（2）当x∈[-2，2]时，函数f（x）在顶点取得最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：由f（-1）=-2得：1-a-2+b=-2，即a-b=1①，
（1）把f（x）的解析式代入f（x）=2x中，得到x²+ax+b=0，
因为方程由唯一的解，所以△=a²-4b=0②，
由①得：a=b+1，代入②得：（b-1）²=0，解得b=1，把b=2代入①解得：a=2；
（2）因为二次函数f（x）=x²+（a+2）x+b为开口向上的抛物线，且当x∈[-2，2]时，函数f（x）在顶点取得最小值，
所以对称轴x=-∈[-2，2]，即，
由①解得：a≤2；由②解得a≥-6，所以不等式组的解集为-6≤x≤2．
故a的取值范围是-6≤x≤2．
分析：先根据f（-1）=2，把x=-1代入f（x）的解析式中让其值等于-2得到关于a与b的关系式，记作①，
（1）把f（x）的解析式代入到f（x）=2x中化为一般形式，由方程有唯一的解得到△=0，即可列出关于a与b的关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值；
（2）由函数解析式可知，此二次函数为开口向上的抛物线，又当x∈[-2，2]时，函数f（x）在顶点取得最小值，得到其对称轴在区间内，根据f（x）解析式表示出对称轴，让对称轴大于等于-2和小于等于2列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的取值范围．
点评：此题考查学生会利用根的判别式判断方程解的情况，掌握二次函数的图象与性质，是一道综合题．