Question

2．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n-1=（1-$\frac{1}{n}$）a_n-$\frac{n-1}{2}$．
（1）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$，从而{b_n}是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），利用错位相减法能求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n-1=（1-$\frac{1}{n}$）a_n-$\frac{n-1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{2}$，
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，${b}_{1}=\frac{{a}_{1}}{1}$=1
∴{b_n}是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{n+1}{2}$，∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．