Question

由曲线y=x2，y=

1

4

x2以及直线y=1所围成的封闭图形的面积是

4

3

．

Answer 1

分析：要求曲线y=x2，y=

1

4

x2以及直线y=1所围成的封闭图形面积，根据图形的对称性及定积分的几何意义，只要求2（∫₀²（1-

1

4

x²）dx-∫₀¹（1-x²）dx）即可．

解答：解：由题意画出图形，如图所示，
得由曲线y=x2，y=

1

4

x2以及直线y=1所围成的封闭图形的面积是图中阴影部分的面积，
y=1与y=x2，y=

1

4

x2在第一象限的两个交点坐标分别为（1，1）、（2，1）
根据图形的对称性及定积分的几何意义，
阴影部分的面积
=2（∫₀²（1-

1

4

x²）dx-∫₀¹（1-x²）dx）．
所求封闭图形的面积为
2（∫₀²（1-

1

4

x²）dx-∫₀¹（1-x²）dx）
=2[（x-

1

12

x³）

|

2 0

-（x-

1

3

x³）

|

1 0

]
=2（2-

1

12

×8-1+

1

3

）=

4

3

，
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．