Question

（本题12分）已知函数．
（1）若，求函数的零点；
（2）若关于的方程在上有2个不同的解，求的取值范围，并证明．

Answer 1

（1）
（2）略

解：（1），   …………1分
若或，令，得(舍去)
若，令，得，
综上，函数的零点为.   ………………………………4分
（2），   ……………………………………1分
因为方程在上至多有1个实根，方程，在上至多有一个实根，结合已知，可得方程在上的两个解中的1个在，1个在。不妨设，，
法一：设
数形结合可分析出，解得，   ……………………3分
，
，，
令，在上递增，
当时，。因为，所以。   …………4分
法二：由，可知，
作出的图像。
可得。   ……………………………………………………………3分
且，故。   ………………………………4分