Question

若{a_n}是等差数列，公差为d且不为d≠0，a₁，d∈R，它的前n项和记为S_n，设集合P={(x，y)|

x2

4

-y2=1，x，y∈R}，Q={(x，y)|x=an，y=

Sn

n

，n∈N*}给出下列命题：（1）集合Q表示的图形是一条直线；（2）P∩Q=∅（3）P∩Q只有一个元素（4）P∩Q可以有两个元素（5）P∩Q至多有一个元素．其中正确的命题序号是

 

（注：把你认为是正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：先根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出x和y，然后消去参数n和d，求得x和y的关系式，根据结合Q是由不连续的数构成，进而可知集合Q表示的图形是一条直线上不连续的点，推断出①不正确；把直线方程与双曲线方程联立消去y后得到一元一次方程可推断出方程最多有一个解，即P∩Q至多有一个元素推断出⑤正确，②③④均不正确．

解答：解：设y=

Sn

n

，x=a_n
由等差数列求和公式得S_n=na₁+

1

2

[n（n-1）d]
则y=a₁+

1

2

[（n-1）d]
又x=a₁+（n-1）d
易得2y=x+a₁
集合Q表示的图形是一条直线上不连续的点，①不正确．
把方程2y=x+a₁与双曲线方程联立得2xa₁-a₁²-4=0
∴直线2y=x+a₁与双曲线最多有一个焦点，即P∩Q至多有一个元素．②③④均不正确，⑤正确．
故答案为：⑤

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，集合的基本性质．考查了学生分析，推理和归纳的能力．