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抛物线x2=2y离点A(0,a)最近的点恰好是顶点,这个结论成立的充要条件是( )
A.a≤0
B.
C.a≤1
D.a≤2
【答案】分析:将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来,再研究二次函数的最值.
解答:解:设点P(x,y)为抛物线上的任意一点,则点P离点A(0,a)的距离的平方为
AP2=x2+(y-a)2
=x2+y2-2ay+a2
∵x2=2y
∴AP2=2y+y2-2ay+a2(y≥0)
=y2+2(1-a)y+a2(y≥0)
∴对称轴为a-1
∵离点A(0,a)最近的点恰好是顶点
∴a-1≤0解得a≤1
故选C.
点评:本题考查二次函数在给定区间的最值的求法:弄清对称轴与区间的关系,在y=0时取到最小值,故函数在定义域内递增,对称轴在区间左边.
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