Question

对于数列{a_n}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a_n}的“差等比数列”，记为数列{b_n}．设数列{b_n}的首项b₁=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{a_n}的前4项；
（II）a₁与q满足什么条件，数列{a_n}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a₁=1，数列{a_n+c_n}是公差为q的等差数列，且c₁=q，求数列{c_n}的通项公式；并证明当1＜q＜2时，c₅＜-2q²．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据数列{b_n}是等比数列，且b₁=2，q=2，可得b₂=4，b₃=8，由此可求个数列{a_n}的前4项；
（Ⅱ）先确定a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q，根据数列{a_n}是等比数列，即可求出公比；
（Ⅲ）先确定c_n-c_n-1=q-2q^n-2，再利用叠加法，即可求数列{c_n}的通项公式，从而可证明1＜q＜2时，c₅＜-2q²．
解答：解：（Ⅰ）因为数列{b_n}是等比数列，且b₁=2，q=2，所以b₂=4，b₃=8，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=1，a₁₅=15．（写出满足条件的一组即可）…（2分）
（Ⅱ）因为数列{b_n}是等比数列，首项b₁=2，公比为q，，所以b₂=2q，b₃=2q²，
所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．
因为数列{a_n}是等比数列，
所以，即（a₁+2）²=a₁×（a₁+2+2q）
所以．
所以当时，数列{a_n}是等比数列．…（5分）
（Ⅲ）因为{a_n+c_n}是公差为q的等差数列，所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q
∵a_n-a_n-1=2q^n-2，
∴c_n-c_n-1=q-2q^n-2，
∴c_n=c₁+（c₂-c₁）+…+（c_n-c_n-1）=nq-2（q^n-2+2q^n-3+…+q+1）=nq-
∴c₅=5q-=-2q³-2q²+3q-2
∴c₅-（-2q²）=2q（1-q²）+（q-2）．
∵1＜q＜2，∴1-q²＜0，q-2＜0．
∴c₅-（-2q²）＜0
∴c₅＜-2q²．                        …（13分）
点评：本题考查新定义，考查等比数列的证明，考查叠加法求数列的和，正确理解新定义是关键．