Question

（2013•和平区一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，AC=BC=

2

，∠ACB=90°．AA₁=2，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面B₁CD：
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可；
（II）作平行线，由线线平行证明线面平行即可；
（III）先证明∠CED为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可．

解答：解：（I）证明：∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，∠ACB=90°，
∴CC₁⊥AC，AC⊥BC，又BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁，BC₁?平面BCC₁，
∴AC⊥BC₁．
（II）证明：如图，设CB₁∩C₁B=E，连接DE，
∵D为AB的中点，E为C₁B的中点，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
（III）解：由DE∥AC₁，∠CED为AC₁与B₁C所成的角，
在△CDE中，DE=

1

2

AC₁=

1

2

AC2+CC12

=

6

2

，
CE=

1

2

B₁C=

1

2

BC2+BB12

=

6

2

，CD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=1，
cos∠CED=

CE2+DE2-CD2

2×CE×DE

=

3 2 + 3 2 -1

2× 6 2 × 6 2

=

2

3

，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角．