Question

已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1，
（1）求异面直线AC，DE所成的角；
（2）求二面角A-CE-D的大小；
（3）设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥平面ACE？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角的余弦值，再求异面直线所成的角；
（2）先求出两个平面的法向量，再利用向量坐标运算求二面角的余弦值，可求得二面角；
（3）假设在平面ABE内存在点H，设H（m，0，n），

PH

=（m，-

1

2

，n-

1

2

），再根据PH⊥平面ACE，确定m、n的值，根据

PH

的坐标表示确定H的位置．

解答：解：（1）建立空间直角坐标系如图：

∵AB=AE=1，四边形ABCD为正方形，∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．

AC

=（1，1，0），

DE

=（0，-1，1），
cos＜

AC

，

DE

＞=

-1

2 × 2

=-

1

2

，
故异面直线AC，DE所成的角为

π

3

；
（2）取DE的中点P，则P（0，

1

2

，

1

2

），连接AP，∵直线AE⊥平面ABCD，∴AE⊥CD，又四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，
∴AP⊥平面CDE，∴

AP

为平面CDE的法向量；
∵BD⊥AC，AE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴

BD

为平面ACE的法向量，

AP

=（0，

1

2

，

1

2

），

BD

=（-1，1，0），
cos＜

AP

，

BD

＞=

1 2

2 2 × 2

=

1

2

．
故二面角A-CE-D为

π

3

．
（3）假设在平面ABE内存在点H，设H（m，0，n），

PH

=（m，-

1

2

，n-

1

2

），
∵PH⊥平面ACE，AC?平面ACE，
∴PH⊥AC，PH⊥AE，∴

PH

•

AC

=m-

1

2

=0⇒m=

1

2

；

PH

•

AE

=n-

1

2

⇒n=

1

2

，
即H（

1

2

，0，

1

2

），∵

BH

=

1

2

BE

，H为B、E的中点．
故存在点H，H为B、E的中点，满足条件．

点评：本题考查利用向量坐标运算，求异面直线所成的角，求二面角，解决存在性问题，解题的关键合理建立空间直角坐标系．