Question

11．已知函数f（x）=log₂$\frac{a+x}{1-x}$．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值，并判断函数的单调性；
（3）在（2）的条件下，若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求函数的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，根据奇函数的性质即可求a的值，并判断函数的单调性；
（3）在（2）的条件下，将不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0进行转化即可．

解答 解：（1）由$\frac{a+x}{1-x}$＞0得（x+a）（x-1）＜0，
若a=-1，则不等式为（x-1）（x-1）＜0，此时无解，
若a＜-1，则不等式的解为1＜x＜-a，
若a＞-1，则不等式的解为-a＜x＜1，
即当a＜-1，则函数的定义域为（1，-a），
若a＞-1，则函数的定义域为（-a，1）．
（2）若f（x）为奇函数，
则f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
即log₂$\frac{a+x}{1-x}$+log₂$\frac{a-x}{1+x}$=log₂（$\frac{a+x}{1-x}$．$\frac{a-x}{1+x}$）=log₂$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=0．
即$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，即a²-x²=1-x²，
即a²=1，解得a=1或a=-1，
当a=-1时，f（x）=log₂$\frac{a+x}{1-x}$=log₂$\frac{-1+x}{1-x}$=log₂（-1）不成立，
故a=1．此时f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$=log₂（1+x）-log₂（1-x）为增函数．
（3）在（2）的条件下，f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，函数在（-1，1）上为减函数，且为增函数，
若f（1-m）+f（1-m²）＜0，
则f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜{m}^{2}-1＜1}\\{1-m＜{m}^{2}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{0＜{m}^{2}＜2}\\{{m}^{2}+m-2＞0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{0＜m＜\sqrt{2}或-\sqrt{2}＜m＜0}\\{m＞1或m＜-2}\end{array}\right.$，
解得1＜m＜$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查与对数函数有关的性质的考查，结合函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．考查学生的运算能力．