Question

9．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4．E为BC的中点，F为CC₁的中点．
（1）求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；
（2）求二面角F-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据长方体的性质，结合直线和平面所成角的定义得到FEC是EF与平面ABCD所成的角，进行求解即可；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角F-DE-C的余弦值．

解答 解：（1）在长方体中，CC₁⊥底面ABCD，
∴∠FEC是EF与平面ABCD所成的角，
∵E为BC的中点，F为CC₁的中点，
∴CF=2，CE=1，EF=$\sqrt{C{F}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
则cos∠FEC=$\frac{CE}{EF}=\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即EF与平面ABCD所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）建立如图所示的坐标系，
则平面DEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面FDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），F（0，2，2），E（1，2，0），
则$\overrightarrow{DF}$=（0，2，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=x+2y=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，则x=2，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即二面角F-DE-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查线面角以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．