分析 (1)根据长方体的性质,结合直线和平面所成角的定义得到FEC是EF与平面ABCD所成的角,进行求解即可;
(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角F-DE-C的余弦值.
解答 解:(1)在长方体中,CC1⊥底面ABCD,
∴∠FEC是EF与平面ABCD所成的角,
∵E为BC的中点,F为CC1的中点,
∴CF=2,CE=1,EF=$\sqrt{C{F}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$,
则cos∠FEC=$\frac{CE}{EF}=\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
即EF与平面ABCD所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(2)建立如图所示的坐标系,
则平面DEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
设平面FDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),F(0,2,2),E(1,2,0),
则$\overrightarrow{DF}$=(0,2,2),$\overrightarrow{DE}$=(1,2,0),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=x+2y=0}\end{array}\right.$,
令y=-1,则x=2,z=1,即$\overrightarrow{n}$=(2,-1,1),
cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
即二面角F-DE-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
点评 本题主要考查线面角以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
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A. | -$\sqrt{3}$ | B. | 0 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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