解:⑴证明:记

,
则

,----------------2分
令

,注意到

,可得

,
所以函数

在

上单调递减,在

上单调递增.-------4分

,即

,
所以

. --------------------------------5分
⑵由⑴知,

对

恒成立,当且仅当

时等号成立,
记

,则
“

恒成立”与“函数

的图象有且仅有一个公共点”同时成立,
即

对

恒成立,当且仅当

时等号成立,
所以函数

在

时取极小值,------------------------7分
注意到

,
由

,解得

,------------------------9分
此时

,
由

知,函数

在

上单调递减,在

上单调递增,
即

=0,

,--------11分
综上,两个条件能同时成立,此时

.--------12分