Question

19．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=$\sqrt{2}$，f（A-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，求角C．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，求得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间；
（2）f（A-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，代入（1）求得sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角形的性质a＜b，求得A，利用正弦定理求得sinB，分类讨论B的取值，分别求得角C．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得x∈[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z），
因此f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）．…（6分）
（2）由f（A-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2A=$\sqrt{3}$，
又a＜b，所以A为锐角，则A=$\frac{π}{6}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$⇒sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当B=$\frac{π}{4}$时，C=π-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{12}$；
当B=$\frac{3π}{4}$时，C=π-$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{12}$．…（12分）

点评 本题考查三角恒等变换、正弦函数图象及性质及正弦定理，考查特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．