Question

如图，已知平行四边形和矩形所在的平面互相垂直，，是线段的中点.
（Ⅰ）求二面角的正弦值；
（Ⅱ）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）.

(I)可采用传统方法作出二面角的平面角，求出后,可知,过作于，又过作交于，连结.则易证为二面角的平面角.然后解即可.
（2）解本小题的关键是确定点P的位置.设AC与BD交于O，则OF//CM，所以CM//平面FBD，所以M与C到平面BFD的距离相等，当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小.
（Ⅰ）法一：易求由勾股定理知，
设点在面内的射影为，过作于，连结，
则为二面角的平面角. ………………3分
在中由面积法易求，………………5分
由体积法求得点到面的距离是，所以，
所以求二面角的大小正弦值为………………7分
法二：易求由勾股定理知，
过作于，又过作交于，连结.
则易证为二面角的平面角………………2分
在中由面积法易求，
从而于是，所以，………3分
在中由余弦定理求得.………………4分
再在中由余弦定理求得.………………5分
最后在中由余弦定理求得，………………6分
所以求二面角的大小正弦值为………………7分
（Ⅱ）设AC与BD交于O，则OF//CM，………………8分
所以CM//平面FBD，………………9分
当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小. ……………10分
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