Question

关于函数，有下列命题：
①其表达式可写成；
②直线图象的一条对称轴；
③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立
则其中真命题为（ ）
A．②③
B．①②
C．②④
D．③④

Answer 1

【答案】分析：①将两函数解析式化简整理，若表示同一个函数，则①正确，否则错误．
②若时，f（x）取得最值，则②正确．否则错误．
③根据左加右减原则，写出平移后图象对应的解析式，进行对照可以断定正误
④考虑先取特殊值，比如取α=等进行验证．
解答：解：=（sin2x-cos2x）．
=（cos2x-sin2x）．与原函数不为同一个函数，①错误．
②时，f（x）=sin[2×（）-]=sin（-）=-1，函数取得最小值，所以直线图象的一条对称轴．②正确
③将g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到，得到图象对应的解析式是y=sin2（x-）=sin（2x-）=-cos2x，与f（x）不为同一个函数．③错误．
④取α=，f（x+α）=f（x+）==sin（2x+），f（x+3α）=f（x+3• ）==sin（2x+3π-）=sin（2x+2π+π-）=sin（2x+），
所以存在取α=∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立． ④正确．
故选C．
点评：本题考查三角函数图象性质，三角函数式的化简，三角函数图象变换．在图象平移变换中，针对的是x的变化，③中，平移后相位应由2x变化为2（x-）即为2x-，而不是2x-．