Question

已知函数f(x)=

x

x-1

．
（Ⅰ）证明：对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）将f（1+x）和f（1-x）代入进行化简；
（2）要求用定义证明，所以按步骤：取值-作差-化简-判号-结论证明即可．

解答：证明：（Ⅰ）f(1+x)+f(1-x)=

1+x

1+x-1

+

1-x

1-x-1

=

1+x

x

-

1-x

x

=2，
即对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2．
（Ⅱ）设x₁，x₂是（1，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
f(x2)-f(x1)=

x2

x2-1

-

x1

x1-1

=

x2(x1-1)-x1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

．
因为1＜x₁＜x₂，所以x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考察函数的性质，属基础题，题目比较常规，所以按常规思路解决就很好．