Question

若a＞b＞c，则

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

证明：因为（a-c）(

1

a-b

+

1

b-c

)=（a-b+b-c）(

1

a-b

+

1

b-c

)=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

∵a＞b＞c∴a-b＞0，b-c＞0；
∴

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2

b-c a-b • a-b b-c

=2
∴2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥4∴（a-c）(

1

a-b

+

1

b-c

)≥4
     因为a＞c所以a-c＞0
     所以

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

类比上述命题及证明思路，回答以下问题：
①若a＞b＞c＞d，比较

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

与

9

a-d

的大小，并证明你的猜想；
②若a＞b＞c＞d＞e，且

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

+

1

d-e

≥

m

a-e

恒成立，试猜想m的最大值，并写出猜想过程，不要求证明．

Answer 1

分析：①由已知中的证明思路，可知不等式的证明是通过将a-c分解为a-b+b-c，展开后利用基本不等式进行证明，类比可得要证得

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

≥

9

a-d

，可将a-d分解为a-b+b-c+c-d，展开后利用基本不等式进行证明；
②当式子左边为2项时，右边的分子最大值为4，当式子左边为3项时，右边的分子最大值为9，可猜想当式子左边为4项时，右边的分子最大值为16．

解答：解：①

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

≥

9

a-d

，理由如下：
因为（a-d）(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

)=（a-b+b-c+c-d）(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

)=3+

a-b

b-c

+

b-c

a-b

+

b-c

c-d

+

c-d

b-c

+

a-b

c-d

+

c-d

a-b

∵a＞b＞c＞d
∴a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0；
∴

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2

b-c a-b • a-b b-c

=2
同理

b-c

c-d

+

c-d

b-c

≥2，

a-b

c-d

+

c-d

a-b

≥2
∴3+

a-b

b-c

+

b-c

a-b

+

b-c

c-d

+

c-d

b-c

+

a-b

c-d

+

c-d

a-b

≥9
∴（a-d）(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

)≥9
∵a＞d
∴a-d＞0
∴

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

≥

9

a-d

，
②由已知及①中结论，可得
若

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

+

1

d-e

≥

m

a-e

恒成立，
则m的最大值为12

点评：本题考查的知识点是类比推理和归纳推理，是推理类问题的综合应用，难度中档．