Question

10．在极坐标系中，设圆C：ρ=4cosθ与直线l：θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程为（　　）

• A． ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）
• B． ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）
• C． ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）
• D． ρ=-2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 分别求出圆C和直线l的直角坐标方程，联立方程组求出A（0，0），B（2，2），由此求出以AB为直径的圆的直角坐标方程，从而能求出以AB为直径的圆的极坐标方程．

解答 解：圆C：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ的直角坐标方程为x²+y²-4x=0，
直线l：θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）的直角坐标方程为y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（0，0），B（2，2），∴线段AB的中点O（1，1），r=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
∴圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
即x²+y²-2x-2y=0，
∴以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
故选：A．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．