Question

已知S_n=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n

（n＞1，n∈N^*）．求证：S_2n＞1+

n

2

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：首先证明当n=2时等式成立，再假设n=k时不等式成立，得到不等式

S

2k

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

k

2

，下面证明当n=k+1时等式左边=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．

解答：证明：（1）当n=2时，左边=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

，右边=1+

2

2

=2，
∴左边＞右边
（2）假设n=k（k≥2）时不等式成立，即

S

2k

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

k

2

，
当n=k+1时，不等式左边S_2（k+1）=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

2k

2k+2k

=1+

k

2

+

1

2

=1+

k+1

2

，
综上（1）（2）可知S_2n＞1+

n

2

对于任意的n≥2正整数成立．

点评：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．