Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（1，

3

2

），且离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（1，

3

2

），且离心率e=

3

2

，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（-1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=-1，以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时，设方程是y=k（x+1），将直线方程与椭圆方程联立，利用以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以

OM

•

ON

=0，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由已知e=

c

a

=

3

2

，即c²=

3

4

a²，b²=a²-c²=

1

4

a²，
∴

x2

a2

+

4y2

a2

=1
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（1，

3

2

），
∴

1

a2

+

12

4a2

=1
∴a²=2，∴b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（-1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．
当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=-1，代入

x2

4

+y²=1得y=±

3

2

，可知M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

）
∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时，设方程是y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
∴x₁+x₂=

-8k2

1+4k2

，x₁•x₂=

4k2-4

1+4k2

，
因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以

OM

•

ON

=0．
可得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+1）•k（x₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0．
∴（1+k²）×

4k2-4

1+4k2

+k²×

-8k2

1+4k2

+k²=0．
∴k=±2
综上所述，过点B（-1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，
方程为y=2x+2或y=-2x-2．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是利用以MN为直径的圆经过坐标原点O时，

OM

•

ON

=0．