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    已知数列{an}、{bn}满足：bn=,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.

    ①必要性：

    设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列.

         从而bn+1－bn=a1+n·d－a1－(n－1) d=d为常数.

        故{bn}是等差数列，公差为d.

    ②充分性:

    设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=(n－1)d′

    ∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan                                                                                ①

    bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an                                                                   ②

    ①－②得：nan=bn－1?

    ∴an=,从而得an+1－an=d′为常数，故{an}是等差数列.

    综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.


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