Question

设函数g（x）满足g（x+2）=g（2-x），f（x）=

g(x)(x≠2) 1(x=2)

，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=（　　）

• A、0
• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由函数g（x）满足g（x+2）=g（2-x），f（x）=

g(x)(x≠2) 1(x=2)

，易知f（x）的图象关于直线x=2对称．从而得出f²（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，不妨设为x₁，而x₂，x₃关于直线x=2对称，于是求得x₁+x₂+x₃的值．

解答： 解：由函数g（x）满足g（x+2）=g（2-x），f（x）=

g(x)(x≠2) 1(x=2)

，
易知f（x）的图象关于直线x=2对称
对于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一个关于f（x）的一元二次方程，
若此一元二次方程仅有一根，则必有f（x）=1，此时x₁，x₂，x₃三个数中有一个是2，另两个关于x=2对称，此时有 x₁+x₂+x₃=6；　
若关于f（x）的一元二次方程f²（x）+bf（x）+c=0有两个根，则必有f（x）=2与f（x）=m≠1，此时f（x）=2有两根，且此两根关于x=2对称，f（x）=m=1的根为2，此时有x₁+x₂+x₃=6，
综上知x₁+x₂+x₃=6，
故选：D

点评：转化思想是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了转化思想的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．