Question

18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$，求AG的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别推导出AG⊥EF，AG⊥AD，由此能证明AG⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，由BF与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$，利用向量法能求出AG．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…（3分）
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG?平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，-1，t），
所以$\overrightarrow{BF}$=（-4，-1，t），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，t）．…（8分）
设平面ACE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{4x+4y=0}\\{y+tz=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（t，-t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
所以|cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，…（10分）
即$\frac{|2t|}{\sqrt{17+{t}^{2}}•\sqrt{2{t}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，解得t²=1或${t}^{2}=\frac{17}{2}$．
所以AG=1或AG=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．