Question

5．设复数z=-3cosθ+isinθ．（i为虚数单位）
（1）当θ=$\frac{4}{3}$π时，求|z|的值；
（2）当θ∈[$\frac{π}{2}$，π]时，复数z₁=cosθ-isinθ，且z₁z为纯虚数，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）化简复数然后求解复数的模．
（2）化简复数，利用复数是纯虚数，实部为0，虚部不为0，求解即可．

解答 解：（1）∵$θ=\frac{4}{3}π$，∴$z=-3cos\frac{4}{3}π+isin\frac{4}{3}π=\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$
∴|z|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）复数z=-3cosθ+isinθ．复数z₁=cosθ-isinθ，
z₁z=（-3cosθ+isinθ）（cosθ-isinθ）=-3cos²θ+sin²θ+4icosθsinθ，
z₁z为纯虚数，可得：-3cos²θ+sin²θ=0，故tan²θ=3，此时4cosθsinθ≠0，满足题意．
因为$θ∈[\frac{π}{2}，π]$，故$tanθ=-\sqrt{3}$，所以$θ=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查复数的基本概念，复数的模的求法，考查计算能力．