Question

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）－1，3（2）0<a<1

(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x²－x－3，由题意可知x＝x²－x－3，得x₁＝－1，x₂＝3，故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1，3.
(2)∵f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax²＋(b＋1)x＋b－1，即ax²＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b²－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)²－16a<0，解得0<a<1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0<a<1