Question

圆C：x²+y²=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点．
（1）求当α=

3

4

π时，弦AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；
（3）在（2）的情况下，已知直线l′与圆C相切，并且l′⊥l，求直线l′的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）由直线l的倾斜角的正切值，求出直线l的斜率，由P坐标与斜率即可写出AB的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，再由半径r，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，此时过P的直径所在的直线与弦AB所在的直线垂直，由圆心与P的坐标求出过P直径所在直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线l的斜率，由P的坐标与求出的斜率写出直线l的方程即可．
（3）若l′⊥l，则l′的斜率为-2，设l′的方程为2x+y+C=0，结合直线l′与圆C相切，可得：圆心（0，0）到l′距离等于半径，进而求出直线l′的方程．

解答： 解：（1）由直线l的倾斜角为a=

3

4

π，得到直线l斜率为-1，
则直线AB的解析式为y-2=-（x+1），即x+y-1=0，
∴圆心到直线AB的距离d=

1

2

=

2

2

，
又圆的半径r=2

2

，
则弦AB的长为2

8-( 2 2 )2

=

30

（2）由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），
∵P（-1，2），
∴过P的直径所在直线的斜率为-2，
根据垂径定理得到直线l方程斜率为

1

2

，
则直线l方程为y-2=

1

2

（x+1），
即x-2y+5=0．
（3）若l′⊥l，则l′的斜率为-2，
设l′的方程为2x+y+C=0，
由直线l′与圆C相切，
则圆心（0，0）到l′距离等于半径，
即

|C|

5

=2

2

，
故C=±2

10

，
故l′的方程为2x+y+±2

10

=0．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后利用勾股定理来解决问题．