Question

设f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx的定义域为

 

；单调区间为

 

，其图象的对称轴方程为

 

．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的单调性及单调区间

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：运用二倍角的余弦公式，及两角和的正弦公式，化简f（x），再由分母不为0，可得定义域，运用正弦函数的单调区间，解不等式即可得到所求单调区间，再由正弦函数的对称轴方程，即可得到所求方程．

解答： 解：f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx
=

cos2x-sin2x

sinx+cosx

+2sinx=cosx-sinx+2sinx
=cosx+sinx=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）
=

2

sin（x+

π

4

），
由cosx+sinx≠0，即有tanx≠-1，
解得，x≠kπ-

π

4

，k∈Z，
由2kπ-

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，可得，
2kπ-

3π

4

＜x＜2kπ+

π

4

；
由2kπ+

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

3π

2

，可得，
2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

．
由x+

π

4

=kπ+

π

2

，可得，x=kπ+

π

4

，k∈Z，
则定义域为{x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z}，
增区间为（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

），k∈Z
减区间为（2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

），（2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

），k∈Z；
对称轴方程为x=kπ+

π

4

，k∈Z．
故答案为：{x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z}；（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

），k∈Z，（2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

），（2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

），k∈Z；x=kπ+

π

4

，k∈Z．

点评：本题考查函数的定义域的求法，考查三角函数的化简，考查正弦函数的单调区间，及对称轴方程，考查运算能力，属于基础题和易错题．