Question

6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=4+cost\\ y=-3+sint\end{array}$（t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ为参数）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C₁上的点P对应的参数为t=-$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求线段PQ的中点M到直线C₃：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=8+2$\sqrt{3}$  距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos²θ+sin²θ=1，能求出曲线C₁，C₂的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线．
（Ⅱ）当t=$\frac{π}{2}$时，P（4，-4），设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，-2+sinθ），直线C₃的直角坐标方程为：$x-\sqrt{3}y$-（8+2$\sqrt{3}$）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C₃：ρcosθ-$\sqrt{3}ρsinθ=8+2\sqrt{3}$距离的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=4+cost\\ y=-3+sint\end{array}$（t为参数），
∴曲线C₁的普通方程为：（x-4）²+（y+3）²=1，…（1分）
∵曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ为参数），
∴曲线C₂的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，…（2分）
曲线C₁为圆心是（4，-3），半径是1的圆．…（3分）
曲线C₂为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．…（4分）
（Ⅱ）当t=$\frac{π}{2}$时，P（4，-4），…（5分）
设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，-2+sinθ），…（6分）
∵直线C₃：ρcosθ-$\sqrt{3}ρsinθ=8+2\sqrt{3}$，
∴直线C₃的直角坐标方程为：$x-\sqrt{3}y$-（8+2$\sqrt{3}$）=0，…（7分）
M到C₃的距离d=$\frac{|（2+3cosθ）-\sqrt{3}（-2+sinθ）-（8+2\sqrt{3}）}{2}$ …（8分）
=$\frac{|3cosθ-\sqrt{3}sinθ-6|}{2}$
=$\frac{|2\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）-6|}{2}$
=3-$\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）$．…（9分）
从而当cos（$θ+\frac{π}{6}$）=1时，d取得最小值3-$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程和普通方程的互化，考查线段的中点到直线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．