已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
分析:(1)根据题意和式子的特点,先令x
1=x
2=-1求出f(-1)=0,再令x
1=-1,x
2=x求出f(-x)=f(x),则证出此函数为偶函数;
(2)先任取x
2>x
1>0,再代入所给的式子进行作差变形,利用x
2=
x1•和
>1且
f()>0,判断符号并得出结论;
(3)根据题意和(1)的结论,把不等式转化为f(|2x
2-1|)<f(4),再由(2)的结论知|2x
2-1|<4,故解此不等式即可.
解答:解:(1)由题意知,对定义域内的任意x
1,x
2都有f(x
1•x
2)=f(x
1)+f(x
2),
令x
1=x
2=-1,代入上式解得f(-1)=0,
令x
1=-1,x
2=x代入上式,∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)设x
2>x
1>0,则
f(x2)-f(x1)=f(x1•)-f(x1)=
f(x1)+f()-f(x1)=f()∵x
2>x
1>0,∴
>1,∴
f()>0,
即f(x
2)-f(x
1)>0,∴f(x
2)>f(x
1)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2,
∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x
2-1)<2可化为f(|2x
2-1|)<f(4),
又∵函数在(0,+∞)上是增函数,∴|2x
2-1|<4,且2x
2-1≠0,
即-4<2x
2-1<4,且2x
2≠1解得:
-<x<,且x≠
±,
即不等式的解集为{x|
-<x<,且x≠
±}.
点评:本题的考点是抽象函数的性质及其应用,根据证明函数奇偶性和单调性的方法,反复给x1和x2值利用给出恒等式,注意条件的利用;求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系,进而由函数的单调性转化为自变量的大小,易错点忽略定义域.