Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，M为椭圆上一点，且

MF1

•

MF2

的最大值的取值范围是[c²，2c²]，其中c是椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是（　　）

• A、[

  3

  3

  ，

  2

  2

  ]
• B、[

  1

  3

  ，

  1

  2

  ]
• C、[

  2

  2

  ，1）
• D、[

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可设M（x₀，y₀），根据椭圆的第二定义用x₀分别表示出|MF₁|和|MF₂|，求出|MF₁|•|MF₂|的表达式，结合

MF1

•

MF2

的最大值的取值范围是[c²，2c²]，即可确定椭圆的离心率取值范围

解答： 解：设M（x₀，y₀），由题意知|MF₁|=a+ex₀，|MF₂|=a-ex₀，
∴|MF₁|•|MF₂|=a²-e²x₀²．
∵0≤x₀²≤a²，
∴a²-c²≤a²-e²x₀²≤a²，
∵

MF1

•

MF2

的最大值的取值范围是[c²，2c²]，
∴c²≤a²-c²≤2c²，
∴椭圆的离心率取值范围是[

3

3

，

2

2

]．
故选：A．

点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质是解题的关键．