Question

【题目】已知点P是椭圆 在第一象限上的动点，过点P引圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：根据题意，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（x0 ， y0）， PA是圆的切线且切点为A，则PA的方程为x1x+y1y=4，
同理PB的方程为x2x+y2y=4，
又由PA、PB交与点P，则有x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
则直线AB的方程为x0x+y0y=4，
则M的坐标为（ ，0），N的坐标为（0， ），
S△OMN= |OM||ON|= ，
又由点P是椭圆 在第一象限上的动点，则有 + =1，
则有1= + ≥2 = |x0y0|，即|x0y0|≤4 ，
S△OMN= |OM||ON||= ≥ ，
即△OMN面积的最小值为 ；
故答案为： ．
根据题意，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（x0 ， y0），由圆的切线方程可得PA、PB的方程，而PA、PB交于P（x0 ， y0），由此能求出AB的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．