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已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.

(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.
(1)详见解析;(2)详见解析;(3).

试题分析:解法一(向量法)
(I)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,分别求出直线PF与FD的平行向量,然后根据两个向量的数量积为0,得到PF⊥FD;
(2)求出平面PFD的法向量(含参数t),及EG的方向向量,进而根据线面平行,则两个垂直数量积为0,构造方程求出t值,得到G点位置;
(3)由是平面PAD的法向量,根据PB与平面ABCD所成的角为45°,求出平面PFD的法向量,代入向量夹角公式,可得答案.
解法二(几何法)
(I)连接AF,由勾股定理可得DF⊥AF,由PA⊥平面ABCD,由线面垂直性质定理可得DF⊥PA,再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF,再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD;
(2)过点E作EH∥FD交AD于点H,则EH∥平面PFD,且有AH=AD,再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥平面PFD且AG=AP,由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD,进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD.从而确定G点位置;
(Ⅲ)由PA⊥平面ABCD,可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBA=45°,取AD的中点M,则FM⊥AD,FM⊥平面PAD,在平面PAD中,过M作MN⊥PD于N,连接FN,则PD⊥平面FMN,则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角,解三角形MNF可得答案..
试题解析:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).
不妨令P(0,0,t),∵=(1,1,-t),=(1,-1,0),
=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,
即PF⊥FD.
(2)解:设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),


令z=1,解得:x=y=.
∴n=.
设G点坐标为(0,0,m),E,则
要使EG∥平面PFD,只需·n=0,即,得m=,从而满足AG=AP的点G即为所求.
(3)解:∵AB⊥平面PAD,∴是平面PAD的法向量,易得=(1,0,0),又∵PA⊥平面ABCD,∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,得∠PBA=45°,PA=1,平面PFD的法向量为n=.
.
故所求二面角A-PD-F的余弦值为.
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