Question

已知函数的定义域为，值域为[-5，4]；函数 g（x）=asinx+2bcosx，x∈R．
（1）求函数g（x）的最小正周期和最大值；
（2）当x∈[0，π]，且g（x）=5时，求tan x．

Answer 1

解：（1）f（x）=a（1-cos2x）-sin2x+b=-a（cos2x+sin2x）+a+b=-2a sin（2x+）+a+b．----------（2分）
∵x∈，∴2x+，sin（2x+）∈．显然a=0不合题意．--------（4分）
当a＞0时，值域为[b-a，b+2a]，即．----------（6分）
当a＜0时，值域为[b+2a，b-a]，即． （8分）
当a＞0时，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+?₁），∴T=2π，g（x）_max=5；
当a＜0时，g（x）=-3sinx+2cosx=sin（x+?₂），∴T=π，g（x）_max=．------------（10分）
（2）由上可知，
当a＞0时，由g（x）=5sin（x+?₁），且tan?₁=-，g（x）_max=5，此时x+?₁=2kπ+（k∈Z）．
则x=2kπ+-?₁（k∈Z），由于 x∈（0，π），∴tanx=cot ?₁=-．（12分）
当a＜0时，g（x）_max=＜5，所以不存在符合题意的x．（13分）
综上，tan x=-．-------------------（14分）
分析：（1）利用 三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为-2a sin（2x+）+a+b，分a＞0和a＜0，根据函数的值域分别求出a、b的值，从而求得函数g（x）的最小正周期和最大值．
（2）由上可知当a＞0时，由g（x）=5sin（x+?₁），且tan?₁=-，g（x）_max=5，此时x+?₁=2kπ+（k∈Z），可得tanx=cot ?₁=-．当a＜0时，g（x）_max=＜5，故不存在
符合题意的x．
点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，三角函数的恒等变换及化简求值，求出a、b的值，是解题的关键，属于中档题．