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已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,且经过M(2,1)、N(2
2
,0)
两点,P是E上的动点.
(1)求|OP|的最大值;
(2)若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b(b<0),直线l交椭圆E于两个不同点A、B,求证:直线MA与直线MB的倾斜角互补.
分析:(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),将M(2,1),N(2
2
,0)
代入椭圆E的方程,求得m,n即可;
(2)因为直线l平行于OM,且在y轴上的截距为b,所以可得直线l的方程为y=
1
2
x+b
.与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系,利用直线的斜率公式即可证明结论.
解答:解:(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
M(2,1),N(2
2
,0)
代入椭圆E的方程,得
4m+n=1
8m=1

解得m=
1
8
,n=
1
2

所以椭圆E的方程为
x2
8
+
y2
2
=1

设点P的坐标为(x0,y0),则|OP|2=
x
2
0
+
y
2
0

又P(x0,y0)是E上的动点,所以
x
2
0
8
+
y
2
0
2
=1
,得
x
2
0
=8-4
y
2
0

代入上式得|OP|2=
x
2
0
+
y
2
0
=8-3
y
2
0
y0∈[-
2
2
]

故y0=0时,|OP|max=2
2
.|OP|的最大值为2
2

(2)因为直线l平行于OM,且在y轴上的截距为b,又kOM=
1
2

所以直线l的方程为y=
1
2
x+b
.由
y=
1
2
x+b
x2
8
+
y2
2
=1
得x2+2bx+2b2-4=0,
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=-2b,x1x2=2b2-4
k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2

k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=
(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)

y1=
1
2
x1+b,y2=
1
2
x2+b

所以上式分子=(
1
2
x1+b-1)(x2-2)+(
1
2
x2+b-1)(x1-2)

=x1x2+(b-2)(x1+x2)-4(b-1)=2b2-4+(b-2)(-2b)-4(b-1)=0
故k1+k2=0.
所以直线MA与直线MB的倾斜角互补.
点评:本题主要考查椭圆的方程与性质、直线斜率计算公式与直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想.
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已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,
32
)
三点
(1)求椭圆方程
(2)若此椭圆的左、右焦点F1、F2,过F1作直线L交椭圆于M、N两点,使之构成△MNF2证明:△MNF2的周长为定值.

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三点.
(1)求椭圆E的方程:
(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当△DFH内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标.

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(2013•闵行区二模)已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,且经过M(2,1),N(2
2
,0)
两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b(b<0),直线l交椭圆E于两个不同点A、B,直线MA与MB的斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2=0.

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已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
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三点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当△DFH内切圆的面积最大时,求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线l:y=k(x-1)(k≠0)与椭圆E交于M、N两点,证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程.

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