Question

7．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，求|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）若向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$，结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果．
（2）由向量互相垂直的性质得（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，由此能求出k的值．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$
=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{4+4-4×1×2×cos60°}$=2．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{{b}^{2}}$=k²-4=0，
解得k=±2．

点评 本题考查向量的模的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的数量积的求法和向量垂直的性质的合理运用．