Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）先证，，进而证明⊥平面，从而得证；
（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以.
又因为平面,所以.
又,所以⊥平面.                     
又平面，所以                                       ……6分
（Ⅱ）依题意,知

平面平面，交线为，
过点作，垂足为，则平面.
在平面内过作，垂足为，连,
则⊥平面，所以为二面角的一个平面角 .       ……9分
∵，,
∴, .                                        ……10分
又，故. 所以.                            ……11分
∴.
即二面角的余弦值为.                                      ……12分
点评：在空间中证明直线、平面间的位置关系时，要紧扣判定定理和性质定理，定理中要求的条件要一一列举出来，缺一不可.