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(2011•盐城二模)已知数列{an}单调递增,且各项非负,对于正整数K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的项,则称数列{an}为“K项可减数列”.
(1)已知数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,且数列{an-2}是“K项可减数列”,试确定K的最大值;
(2)求证:若数列{an}是“K项可减数列”,则其前n项的和Sn=
n2
an(n=1,2,…,K)

(3)已知{an}是各项非负的递增数列,写出(2)的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.
分析:要紧扣新概念,借助于等比数列的性质以及数列前N项和的性质.
(1)由于an=2n,则cn=2n-2,紧扣K项可减数列的概念,求出k值;
(2)要紧扣新概念,因为数列{an}是“K项可减数列”,所以ak-at(t=1,2…,K)必定是数列{an}中的项;
(3)考查命题的真假,要有数列前N项和公式求通项公式,由an=
Sn-Sn-1,n≥2
S1,n=1
即可求出.
解答:解:(1)设cn=an-2=2n-2,则c1=0,c2=2,c3=6,
易得c1-c1=c1,c2-c1=c2,c2-c2=c1,即数列{cn}一定是“2项可减数列”,
但因为c3-c2≠c1,c3-c2≠c2,c3-c2≠c3,所以K的最大值为2. …(5分)
(2)因为数列{an}是“K项可减数列”,
所以ak-at(t=1,2…,K)必定是数列{an}中的项,…(7分)
而{an}是递增数列,故ak-ak<ak-ak-1<ak-ak-2<…<ak-a1
所以必有ak-ak=a1,ak-ak-1=a2,ak-ak-2=a3,…,ak-a1=ak
则a1+a2+a3+…+ak=(ak-ak)+(ak-ak-1)+(ak-ak-2)+…+(ak-a1)=Kak-(a1+a2+a3+…+ak),
所以SK=KaK-SK,即SK=
K
2
aK

又由定义知,数列{an}也是“t项可减数列”(t=1,2,…,K-1),
所以Sn=
n
2
an(n=1,2,…,K)
.                         …(10分)
(3)(2)的逆命题为:
已知数列{an}为各项非负的递增数列,若其前n项的和满足Sn=
n
2
an(n=1,2,…,K)

则该数列一定是“K项可减数列”,该逆命题为真命题.   …(12分)
理由如下:因为Sn=
n
2
an(1
≤n≤K),所以当n≥2时,Sn-1=
n-1
2
an-1

两式相减,得an=Sn-Sn-1=
n
2
an
-
n-1
2
an-1
,即(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2)(*)
则当n≥3时,有(n-3)an-1=(n-2)an-2(**)
由(**)-(*),得an+an-2=2an-1(n≥3),
a1=
1
2
a1
,所以a1=0,故数列a1,a2,…,aK是首项为0的递增等差数列.
设公差为d(d>0),则an=(n-1)d,(n=1,2,…,K),
对于任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai=(j-i)d=aj-i+1
因为1≤1≤j-i+1≤K,所以aj-ai仍是a1,a2,…,aK中的项,
故数列{an}是“K项可减数列”.                      …(16分)
点评:本题是创新概念题,做题时要紧扣新概念.结合等差数列和等比数列的性质来完成.
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