Question

如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，△BCD是正三角形．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值及此时θ角的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知S_四边形=S_△ABD+S_△BCD，由于可由题设条件用θ三角函数表示出来，△BCD是正三角形，需要在，△BAD由余弦定理求出其边长方能计算出它的面积，分别计算出两个三角形的面积，再相加即可得到四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
（II）由（I）中的四边形的面积函数表达式，利用三角函数的有界性求出函数的最值及最值取到时θ角的值．

解答：解：（I）由余弦定理得，BD²=AB²+AD²-2AB×BDcosθ=2-2cosθ
（也可得到BD=2sin2

θ

2

）（2分）
S_四边形=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

×1×1×sinθ+

3

4

(2-2cosθ)=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

（5分）
S=

3

2

+sin(θ-

π

3

)，θ∈（0，π）；（7分）
（II）由（I）S=

3

2

+sin(θ-

π

3

)
当θ=

5

6

π时，S最大值为1+

3

2

（10分）

点评：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是熟练掌握余弦定理的内容且能在实际问题中用余弦定理建立方程求值，本题考查了三角函数的有界性以及两角和与差的正弦函数，知识性较强，本题考查了利用公式变形的能力