Question

在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响．问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响？持续多长时间？
（注：

7

=2.65，

2

=1.41）

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：建立直角坐标系，可得t小时后，B的坐标为（-300+40tcos45°，40tsin45°），利用B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响，即可得出结论．

解答： 解：以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B₁的坐标为（-300，0）．
根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（-300+40tcos45°，40tsin45°），
即（-300+20

2

t，20

2

t），
因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，
所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响．
所以令|AB|≤250，即(-300+20

2

t)2+(20

2

t)2≤2502
整理得16t2-120

2

t+275≤0解得

15 2 -5 7

4

≤t≤

15 2 +5 7

4

，
所以1.99≤t≤8.61
故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时．

点评：本题给出实际应用问题，求台风影响气象台的时长．着重考查了圆的标准方程等知识，考查了直线与圆的知识在实际问题中的应用，属于中档题．