Question

在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:(>0),已知过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为:（t为参数）,直线l与曲线C分别交于M,N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求的值．

Answer 1

(1) 曲线C:, 直线的普通方程为；(2) ．

试题分析：(1) 由代入可得曲线C普通方程，直线l参数方程，两式相减消去参数，可得直线l的普通方程；(2)设两交点M,N对应的参数分别为t₁,t_2，将直线的参数方程代入抛物线方程可得，韦达定理求出，又|MN|²=|PM|·|PN|得(t₁-t₂)²=(t₁+t₂)²-4t₁·t₂=t₁·t₂,解得．
解：(1)由得曲线C: ,消去参数t可求得,
直线l的普通方程为．                                     4分
(2)直线l的参数方程为 (t为参数),
代入,得,
设两交点M,N对应的参数分别为t₁,t₂,
则有,．
因为|MN|²=|PM|·|PN|,所以(t₁-t₂)²=(t₁+t₂)²-4t₁·t₂=t₁·t₂,
解得．                                     12分