Question

矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD， AD=1， EF=．

   （Ⅰ）证明：AE 平面FCB；

   （Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值

   （Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？

证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）见解析

解析:

 (1) 平面ABCD平面ABEF,

且四边形ABCD与ABEF是矩形,

AD平面ABEF,ADAE,

BC∥AD BCAE

又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,

所以四边形ABEF为正方形.AEFB,

又BFBF平面BCF，BC平面BCF

所以AE平面BCF……………………………………………4分

(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH//BD,

HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),

在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=

异面直线BD与AE所成的角的余弦值为………………………….8分

(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB

证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，

则NG//FC,MG//BC,

又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G

所以平面NGM//平面FBC,

MN平面NGM

MN//平面FBC……………………………………………………………12分