Question

【题目】=在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= + ．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：由 得：

；

∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根据正弦定理， ；

∴ ，带入（1）得： ；

∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；

又a，b＞0；

∴ ；

∴由余弦定理， = ；

∴cosC的最小值为

【解析】（Ⅰ）由切化弦公式 ，带入 并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了 ，这样由余弦定理便可得出 ，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．