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    已知在函数y=-
    13
    x3-2x2+5x    的曲线上存在唯一点P（x0，y0），过点P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点P，则切线l的斜率k=
    9
    9
    ．
    分析：先求函数图象的对称中心，再验证满足题意，即可求得结论．
    解答：解：由题意，y′=-x2-4x+5，∴y″=-2x-4
    令y″=0，可得x=-2，则y=-
    46
    3

    ∴曲线的对称中心为（-2，-
    46
    3
    ）
    ∴对称中心处切线l的斜率k=-4+8+5=9，切线方程为y=9x+
    8
    3

    与曲线方程联立可得x3+6x2+12x+8=0
    ∴（x+2）3=0，∴x=-2，
    即过点P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点P
    故答案为：9
    点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，解题的关键是由题意得出点P是函数图象的对称中心．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，
    13
    ），
    （1）试求出此函数的解析式；
    （2）写出此函数的单调区间；
    （3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数f（x）=px2+qx（p≠0），其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若cn=
    13
    (an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn    ，求数列{bn}的通项公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a∈{-2，-
    1
    2
    ，-
    1
    3
    ，-
    2
    3
     ，
    1
    2
    ，1，2，3    }，已知幂函数y=xa为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为
    -2，-
    2
    3
    -2，-
    2
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设a∈{-2，-
    1
    2
    ，-
    1
    3
    ，-
    2
    3
     ，
    1
    2
    ，1，2，3    }，已知幂函数y=xa为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，
    1
    3
    ），
    （1）试求出此函数的解析式；
    （2）写出此函数的单调区间；
    （3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

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