Question

已知不等式mx²-mx-1＜0．
（1）若对?x∈R不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对?x∈[1，3]不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）分情况讨论：若m=0易判断；当m≠0时，则有，解出m，综合两种情况即得m范围；
（2）令f（x）=mx²-mx-1，分三种情况进行讨论：当m=0时易判断；当m＞0时，由题意可得，从而得m的不等式组；当m＜0时，数形结合可得f（1）＜0，三者结合可求得m的取值范围；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，由题意可得，解此关于x的不等式组即可求得x的范围；
解答：解：（1）要使不等式mx²-mx-1＜0恒成立，
①若m=0，显然-1＜0；
②若m≠0，则，解得-4＜m＜0，
综上，实数m的取值范围是{m|-4＜m≤0}．
（2）令f（x）=mx²-mx-1，
①当m=0时，f（x）=-1＜0显然恒成立；
②当m＞0时，若对?x∈[1，3]不等式恒成立，只需即可，
所以，解得m＜，
所以0＜m＜；
③当m＜0时，函数f（x）的图象开口向下，对称轴为x=，若对?x∈[1，3]不等式恒成立，结合函数图象知只需f（1）＜0即可，解得m∈R，所以m＜0，
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＜}；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需即可，
所以，解得，
所以实数x的取值范围是{x|}．
点评：本题考查函数恒成立及二次函数的性质，考查分类讨论思想、数形结合思想，解决恒成立问题的常用方法是转化为函数最值，有时采取数形结合会简化运算．