【题目】已知椭圆的一个焦点为,离心率为,为椭圆的左顶点,,为椭圆上异于的两个动点,直线,与直线分别交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与的面积之比为,求的坐标;
(3)设直线与轴交于点,若,,三点共线,判断与的大小关系,并说明理由.
【答案】(1);(2)或;(3),理由见解析
【解析】
(1)根据焦点,离心率可得出椭圆方程;
(2)将与的面积之比转化为边长之比,再次转化为向量之间的等量关系,从而求解的坐标;
(3)要求与的大小关系,由于均是锐角,故可借助正切来进行比较大小,设出,,,根据题意可求出三者之间的关系,从而用一个量来表示与的正切,进而可比较出大小关系.
解:(1)由题意得,又,
解得,.
,.
椭圆的方程为;
(2)解:与的面积之比为,
,则,
设,,
则,
解得,.
将其代入,解得.
的坐标为或;
(3),证明如下.
证明:设,,,
若,则为椭圆的右顶点,由,,三点共线知,
为椭圆的左顶点,不符合题意.
.
同理.
设直线的方程为.
由消去,
整理得.
恒成立.
由韦达定理得到:,
解得.
.
得.
当时,,,即直线轴.
由椭圆的对称性可得.
又,
.
当时,,
直线的斜率,
同理.
,,三点共线,
,
得.
在和中,
,
,
.
,均为锐角,
.
综上,若,,三点共线,则.
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【题目】已知下面四个命题:
①“若,则或”的逆否命题为“若且,则”
②“”是“”的充分不必要条件
③命题存在,使得,则:任意,都有
④若且为假命题,则均为假命题,其中真命题个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】在平面直角坐标系中,点,直线,圆.
(1)求的取值范围,并求出圆心坐标;
(2)有一动圆的半径为,圆心在上,若动圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】在ABC中,角A,B,C所对的边分別为a,b,c,且asinAcosC+csinAcosA=c.
(1)若c=1,sinC=,求ABC的面积S;
(2)若D是AC的中点,且cosB=,BD=,求ABC的三边长.
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【题目】如图所示,在三棱锥SABC中,,O为BC的中点.
(1)求证:面ABC;
(2)求异面直线与AB所成角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使二面角的平面角的余弦值为;若存在,求的值;若不存在,试说明理由.
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【题目】已知动点到定直线:的距离比到定点的距离大2.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)在轴正半轴上,是否存在某个确定的点,过该点的动直线与曲线交于,两点,使得为定值.如果存在,求出点坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切,求直线的斜率.
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【题目】已知圆C过点,且与圆外切于点,过点作圆C的两条切线PM,PN,切点为M,N.
(1)求圆C的标准方程;
(2)试问直线MN是否恒过定点?若过定点,请求出定点坐标.
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