Question

如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P是半径OC上的动点．
（I）试用

OA

，

OP

表示

PA

，

PB

；
（II）若点P是OC的中点，求

PA

•

PB

的值；
（III）求（

PA

+

PB

）•

PC

的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的三角形法则即得：

PA

=

OA

-

OP

，

PB

=-

OA

-

OP

；
（II）根据题意，由向量的加减法可得

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（-

OA

-

OP

），结合数量积的公式，计算可得答案；
（III）先利用中线的性质得

PA

+

PB

=2

PO

，再代入所求问题得（

PA

+

PB

）•

PC

=2

PO

•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|，利用和为定值借助于基本不等式即可求出 (

PA

+

PB

)•

PC

的最小值．

解答：解：（I）利用向量的三角形法则得：

PA

=

OA

-

OP

，

PB

=-

OA

-

OP

（II）

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（-

OA

-

OP

）=

OP

 2-

OA

 2=

1

4

-1=-

3

4

；
（III）因为

PA

+

PB

=2

PO

，
∴（

PA

+

PB

）•

PC

=2

PO

•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|．
又因为|

PO

|+|

PC

|=|

OC

|=1≥2

| PO| •| PC|

⇒|

PO

|•|

PC

|≤

1

4

．
所以 (

PA

+

PB

)•

PC

≥-

1

2

．
∴（

PA

+

PB

）•

PC

的最小值-

1

2

．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及基本不等式的应用问题，是对基础知识的考查，属于基础题目．