Question

已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线-=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）
（1）当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当=λ时，求λ的最大值．

Answer 1

解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，
又＜1，∴∠POx=30°，即=tan30°=．
∴a=b．
又a²+b²=4，
∴a²=3，b²=1．
故椭圆C的方程为+y²=1．
（2）由已知l：y=（x-c），与y=x解得P（，），
由=λ得A（，）．
将A点坐标代入椭圆方程得（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．
∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²．
∴λ²==-[（2-e²）+]+3≤3-2．
∴λ的最大值为-1．
分析：（1）要求椭圆方程即求a、b的值，根据l₁与l₂的夹角为60°可以得=，由双曲线的距离为4可以得a²+b²=4，进而解关于a，b的方程组可以得a、b，写出椭圆的标准方程．
（2）根据=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l₁的交点，故需求l的方程．将l与l₂的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标．将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查椭圆的标准方程，考查双曲线的应用，考查函数的最值，本题是一个综合题目．